角平分线八年级上

双角平分线模型

又称：两内角平分线夹角模型、内心角模型

三角形两个内角平分线的夹角等于 90° 加第三个角的一半；两条外角平分线的夹角等于 90° 减第三个角的一半；一内一外的夹角等于第三个角的一半。

难度进阶考试权重 7 步证明 · 2 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

两内平分：九十度加一半；两外九十减一半；一内一外就是一半。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 2 步

STEP 1作两角的平分线交于 O：用尺规作

∠ A B C

、

∠ A C B

的平分线，交点记为

O

。

O

是

△ A B C

的内心，到三边距离相等。→ 得到

△ B O C

，把求

∠ B O C

转化为求这个三角形的第三个角

STEP 2在 △BOC 中用内角和：

∠ O B C = \frac{1}{2} ∠ A B C

，

∠ O C B = \frac{1}{2} ∠ A C B

，所以

∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)

；再把

∠ A B C + ∠ A C B

换成

18 0^{\circ} - ∠ A

。→

∠ B O C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A

，把两角之和化为一个角

模型的基本定义

如图，

B O

、

C O

分别平分

△ A B C

的内角

∠ A B C

、

∠ A C B

，交于

O

，则

∠ B O C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A

。若改为

B O

、

C O

分别平分

B

、

C

处的外角，则

∠ B O C = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A

；若

B O

平分内角

∠ B

、

C O

平分

C

处的外角，则

∠ B O C = \frac{1}{2} ∠ A

。三个结论都由“三角形内角和 + 角平分线 + 半角”推出，区别只在于用的是内角还是外角。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1三角形中有两条角平分线相交于一点
2要求（或证明）以交点为顶点的角
3已知第三个角，或能先求出第三个角
4题目出现“内心”“角平分线的交点”等说法
5出现外角平分线时，要分清是两外还是一内一外

常见触发关键词

角平分线交点两内角平分线外角平分线90°加一半半角

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
作两角的平分线交于 O
用尺规作 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 的平分线，交点记为 $O$ 。 $O$ 是 $△ A B C$ 的内心，到三边距离相等。
得到得到 $△ B O C$ ，把求 $∠ B O C$ 转化为求这个三角形的第三个角
STEP 2
在 △BOC 中用内角和
$∠ O B C = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ O C B = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ，所以 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)$ ；再把 $∠ A B C + ∠ A C B$ 换成 $18 0^{\circ} - ∠ A$ 。
得到 $∠ B O C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A$ ，把两角之和化为一个角

为什么这样添加辅助线

要求的角在三角形 BOC 里，已知条件却在三角形 ABC 里，两个三角形共用 ∠B、∠C 的一半。画出角平分线，就把 ∠B、∠C 各“分一半”搬进三角形 BOC；再用内角和把 ∠B+∠C 换成 180°−∠A，只剩一个字母 ∠A。这类“两个三角形共用一对角”的倒角，是双角平分线模型的核心动作，也是后面学内心、外心的基础。

添加辅助线后产生的新关系

$∠ B O C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A$ （两内角平分线）
$∠ B O C = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A$ （两外角平分线）
$∠ B O C = \frac{1}{2} ∠ A$ （一内一外）
$∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)$
$O$ 是 $△ A B C$ 的内心，到三边距离相等
当 $∠ A = 6 0^{\circ}$ 时两内角平分线夹角为 $12 0^{\circ}$ ；当 $∠ A = 9 0^{\circ}$ 时为 $13 5^{\circ}$

能使用哪些定理和性质

三角形内角和定理角平分线的定义三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和角平分线的性质（内心到三边距离相等）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

B O

、

C O

分别平分

∠ A B C

、

∠ A C B

，求证

∠ B O C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A

；并写出两外角、一内一外两种情形的结论。

1 $∠ O B C = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ O C B = \frac{1}{2} ∠ A C B$
依据角平分线的定义
2 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - ∠ O B C - ∠ O C B$
依据三角形内角和
3 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)$
依据代入并提取公因数
4 $∠ A B C + ∠ A C B = 18 0^{\circ} - ∠ A$
依据三角形内角和
5 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} (18 0^{\circ} - ∠ A) = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A$
依据化简
6两外角： $∠ O B C = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ O C B = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A C B$ ，故 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - (9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A B C) - (9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A C B) = \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B) = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A$
依据外角等于 $18 0^{\circ}$ 减内角，取其一半；再用内角和
7一内一外： $∠ O B C = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ O C B = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A C B$ ，故 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A B C - (9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A C B) = \frac{1}{2} ∠ A$
依据外角的一半加内角 = $9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A C B$ ；再用内角和

补充说明

三种情形的图形完全不同，先看清 O 是“两内”“两外”还是“一内一外”的交点。外角要取“三角形一边的延长线与另一边的夹角”，不要与邻补角混为一谈。

典型例题

题目在

△ A B C

中，

∠ A B C = 6 0^{\circ}

，

∠ A C B = 4 0^{\circ}

。

B O

、

C O

分别平分这两个内角，交于

O

。求

∠ B O C

；若改为两外角平分线，

∠ B O C

是多少？一内一外呢？已知：

∠ A B C = 6 0^{\circ}

，

∠ A C B = 4 0^{\circ}

。

解答

1 $∠ A = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 4 0^{\circ} = 8 0^{\circ}$
依据三角形内角和
2 $∠ O B C = 3 0^{\circ}$ ， $∠ O C B = 2 0^{\circ}$
依据角平分线
3 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 13 0^{\circ}$
依据三角形内角和；也等于 $9 0^{\circ} + \frac{1}{2} \times 8 0^{\circ}$
4两外角： $∠ O B C = 9 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 6 0^{\circ}$ ， $∠ O C B = 9 0^{\circ} - 2 0^{\circ} = 7 0^{\circ}$
依据外角的一半
5 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - 6 0^{\circ} - 7 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$
依据三角形内角和；也等于 $9 0^{\circ} - \frac{1}{2} \times 8 0^{\circ}$
6一内一外： $∠ O B C = 3 0^{\circ}$ ， $∠ O C B = 9 0^{\circ} + 2 0^{\circ} = 11 0^{\circ}$
依据内角的一半、外角的一半加内角
7 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - 3 0^{\circ} - 11 0^{\circ} = 4 0^{\circ}$
依据三角形内角和；也等于 $\frac{1}{2} \times 8 0^{\circ}$

结论与点评两内角平分线时

13 0^{\circ}

，两外角平分线时

5 0^{\circ}

，一内一外时

4 0^{\circ}

，分别对应

9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A

、

9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A

、

\frac{1}{2} ∠ A

。

常见变式

变式 1已知夹角反求 A

若两内角平分线夹角为

12 5^{\circ}

，则

\frac{1}{2} ∠ A = 3 5^{\circ}

，

∠ A = 7 0^{\circ}

；注意先判断是内内、外外还是内外。

变式 2内心性质

O

为内心时到三边距离相等，若内切圆半径为

r

，则

S_{△ A B C} = \frac{1}{2} (A B + B C + C A) r

。

变式 3一内一外专项

这是最易混的情形：结论是

\frac{1}{2} ∠ A

，既不是

9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A

，也不是

9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A

。

变式 4与基本性质联动

过

O

分别向三边作垂线，三条垂线段相等，可与“角平分线基本性质”配合求面积。

易错点

!把两外角平分线的夹角也写成 $9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A$ ，正确结果是 $9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A$ 。
!一内一外时仍套用 $9 0^{\circ} \pm \frac{1}{2} ∠ A$ ，实际是 $\frac{1}{2} ∠ A$ 。
!证明时只写“由角平分线得一半”，不写内角和与代换过程。
!搞错对应角： $∠ B O C$ 对应的是 $∠ A$ ，不是 $∠ B$ 或 $∠ C$ 。

关联模型

角平分线

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

作两角的平分线交于 O

在 △BOC 中用内角和

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

角平分线基本性质模型

角平分线与等腰三角形模型

等腰三角形三线合一模型

角平分线与全等三角形模型