Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

角平分线 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：在 △BOC 中用内角和2 / 2

∠ O B C = \frac{1}{2} ∠ A B C

，

∠ O C B = \frac{1}{2} ∠ A C B

，所以

∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)

；再把

∠ A B C + ∠ A C B

换成

18 0^{\circ} - ∠ A

。→

∠ B O C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A

，把两角之和化为一个角

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1作两角的平分线交于 O
用尺规作 $∠ A B C$ 、 $∠ A C B$ 的平分线，交点记为 $O$ 。 $O$ 是 $△ A B C$ 的内心，到三边距离相等。
→ 得到 $△ B O C$ ，把求 $∠ B O C$ 转化为求这个三角形的第三个角
2在 △BOC 中用内角和
$∠ O B C = \frac{1}{2} ∠ A B C$ ， $∠ O C B = \frac{1}{2} ∠ A C B$ ，所以 $∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)$ ；再把 $∠ A B C + ∠ A C B$ 换成 $18 0^{\circ} - ∠ A$ 。
→ $∠ B O C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A$ ，把两角之和化为一个角

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

双角平分线模型

要求的角在三角形 BOC 里，已知条件却在三角形 ABC 里，两个三角形共用 ∠B、∠C 的一半。画出角平分线，就把 ∠B、∠C 各“分一半”搬进三角形 BOC；再用内角和把 ∠B+∠C 换成 180°−∠A，只剩一个字母 ∠A。这类“两个三角形共用一对角”的倒角，是双角平分线模型的核心动作，也是后面学内心、外心的基础。

NEW RELATIONS

$∠ B O C = 9 0^{\circ} + \frac{1}{2} ∠ A$ （两内角平分线）
$∠ B O C = 9 0^{\circ} - \frac{1}{2} ∠ A$ （两外角平分线）
$∠ B O C = \frac{1}{2} ∠ A$ （一内一外）
$∠ B O C = 18 0^{\circ} - \frac{1}{2} (∠ A B C + ∠ A C B)$
$O$ 是 $△ A B C$ 的内心，到三边距离相等
当 $∠ A = 6 0^{\circ}$ 时两内角平分线夹角为 $12 0^{\circ}$ ；当 $∠ A = 9 0^{\circ}$ 时为 $13 5^{\circ}$

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。