角平分线八年级上

角平分线截等长线段模型

又称：角平分线对称截取、截等长造全等

在角的两边上分别截取到顶点距离相等的两点，再与角平分线上一点相连，得到一对全等三角形，两条连线相等，角平分线垂直平分两截点的连线。

难度入门考试权重 7 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

两边截等长，连到平分线上；一对全等，两段相等。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1在两边截取相等的线段：以

O

为圆心、同一半径画弧，分别交

O A

、

O B

于

D

、

E

，使

O D = O E

。→ 得到一组相等的边

O D = O E

，为 SAS 准备夹边

STEP 2连接角平分线上的点：连接

P D

、

P E

，把两个截点连到角平分线上的同一点。→ 得到

△ O D P

与

△ O E P

，它们有

O D = O E

、

∠ D O P = ∠ E O P

、

O P

公共

STEP 3证全等并读结论：由 SAS 得

△ O D P ≅ △ O E P

，所以

P D = P E

。再连

D E

，由

O D = O E

、

P D = P E

得

O P

垂直平分

D E

。→ 两条连线相等，且

O P ⊥ D E

、

O P

平分

D E

模型的基本定义

如图，

O P

平分

∠ A O B

，在

O A

、

O B

上分别取

D

、

E

，使

O D = O E

，连接

P D

、

P E

，则

△ O D P ≅ △ O E P

（SAS），

P D = P E

，

∠ O D P = ∠ O E P

，

∠ O P D = ∠ O P E

。若再连接

D E

，则

O P

垂直平分

D E

：因为

O D = O E

、

P D = P E

，点

O

、

P

都在

D E

的垂直平分线上。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1有角平分线 $O P$
2在角的两边上截取相等的线段（ $O D = O E$ ）
3需要构造一对以角平分线为公共边的全等三角形
4要证两条连线相等或两个角相等
5出现“在 $O A$ 上取 $D$ ，在 $O B$ 上取 $E$ ，使 $O D = O E$ ”的作图语言

常见触发关键词

角平分线截取等长SAS对称垂直平分两条连线相等

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
在两边截取相等的线段
以 $O$ 为圆心、同一半径画弧，分别交 $O A$ 、 $O B$ 于 $D$ 、 $E$ ，使 $O D = O E$ 。
得到得到一组相等的边 $O D = O E$ ，为 SAS 准备夹边
STEP 2
连接角平分线上的点
连接 $P D$ 、 $P E$ ，把两个截点连到角平分线上的同一点。
得到得到 $△ O D P$ 与 $△ O E P$ ，它们有 $O D = O E$ 、 $∠ D O P = ∠ E O P$ 、 $O P$ 公共
STEP 3
证全等并读结论
由 SAS 得 $△ O D P ≅ △ O E P$ ，所以 $P D = P E$ 。再连 $D E$ ，由 $O D = O E$ 、 $P D = P E$ 得 $O P$ 垂直平分 $D E$ 。
得到两条连线相等，且 $O P ⊥ D E$ 、 $O P$ 平分 $D E$

为什么这样添加辅助线

角平分线是 ∠AOB 的对称轴。在两边上截 OD=OE，相当于在对称轴两侧放了一对对称点；再把它们连到轴上同一点 P，两个三角形关于 OP 对称，必然全等。截等长的作用不是“多画一条线”，而是把“角相等”升级成“边角边”：SAS 需要夹角的两条邻边，OD=OE 正好补上缺的那一条。

添加辅助线后产生的新关系

$△ O D P ≅ △ O E P$ （SAS）
$P D = P E$
$∠ O D P = ∠ O E P$ ， $∠ O P D = ∠ O P E$
连接 $D E$ 时， $O P$ 垂直平分 $D E$
四边形 $O D E P$ 是筝形（ $O D = O E$ ， $P D = P E$ ）， $O P$ 是对称轴
$S_{O D E P} = \frac{1}{2} \cdot O P \cdot D E$ （对角线互相垂直）

能使用哪些定理和性质

角平分线的定义全等三角形判定 SAS线段垂直平分线的判定：到线段两端距离相等的点在垂直平分线上全等三角形对应边、对应角相等

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

O P

平分

∠ A O B

，

D

在

O A

上，

E

在

O B

上，

O D = O E

，求证

P D = P E

，并说明

O P

垂直平分

D E

。

1 $∠ D O P = ∠ E O P$
依据 $O P$ 平分 $∠ A O B$
2 $O D = O E$
依据作图截取（已知）
3 $O P = O P$
依据公共边
4 $△ O D P ≅ △ O E P$
依据SAS
5 $P D = P E$
依据全等三角形的对应边相等
6点 $O$ 、 $P$ 都在 $D E$ 的垂直平分线上
依据 $O D = O E$ ， $P D = P E$ ，到线段两端距离相等
7 $O P$ 垂直平分 $D E$
依据两点确定一条直线

补充说明

O D = O E

是“截”出来的条件，不是结论。若只给

O D = O E

而不给角平分线，只能得到

O

在

D E

的垂直平分线上，得不到

P D = P E

。

典型例题

题目如图，

O P

平分

∠ A O B

，

∠ A O B = 6 0^{\circ}

，

O D = O E

，

∠ O D P = 10 0^{\circ}

，

P D = 5

。求

∠ O P D

、

∠ D P E

与

P E

。已知：

O P

平分

∠ A O B = 6 0^{\circ}

，

O D = O E

，

∠ O D P = 10 0^{\circ}

，

P D = 5

。

解答

1 $∠ D O P = 3 0^{\circ}$
依据角平分线
2 $∠ O P D = 18 0^{\circ} - 10 0^{\circ} - 3 0^{\circ} = 5 0^{\circ}$
依据三角形内角和
3 $△ O D P ≅ △ O E P$
依据SAS： $O D = O E$ ， $∠ D O P = ∠ E O P$ ， $O P$ 公共
4 $∠ O P E = ∠ O P D = 5 0^{\circ}$ ， $P E = P D = 5$
依据全等三角形的对应角、对应边相等
5 $∠ D P E = 5 0^{\circ} + 5 0^{\circ} = 10 0^{\circ}$
依据角的和

结论与点评

∠ O P D = 5 0^{\circ}

，

∠ D P E = 10 0^{\circ}

，

P E = 5

。本题中

∠ D P E = 2∠ O P D

，这是两个三角形关于

O P

对称的直接结果。

常见变式

变式 1基本型

只给角平分线与两边截等长，证两条连线相等；关键是补出 SAS 的三个条件。

变式 2连两截点

连接

D E

后，

O P

垂直平分

D E

，且

D E = 2 \cdot O D \cdot sin \frac{∠ A O B}{2}

，可用来求线段长。

变式 3用三线合一替代

△ O D E

是等腰三角形，

O P

平分顶角，由三线合一直接得

O P ⊥ D E

且平分

D E

。

变式 4与双垂线对照

截等长得到 SAS，作垂线得到 AAS，两者都能造全等，但辅助线不同，要按题目已给的条件选择。

易错点

!两边截取的长度不相等（ $O D \neq = O E$ ），SAS 不成立。
!把 $O D = O E$ 当成要证的结论，而不是作图条件。
!连 $D E$ 后直接说 $O P ⊥ D E$ ，不写垂直平分线判定或三线合一的依据。
!误用 SSA：由 $O P$ 公共、 $∠ D O P = ∠ E O P$ 、 $P D = P E$ 反推 $O D = O E$ 是不成立的。

关联模型

角平分线

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

在两边截取相等的线段

连接角平分线上的点

证全等并读结论

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

角平分线基本性质模型

角平分线翻折模型

角平分线与全等三角形模型

等腰三角形三线合一模型