Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

角平分线 / 辅助线实验室

辅助线进度 3 / 3

② 第 3 步：反向使用结论3 / 3

若已知

O C = P C

，则

∠ P O C = ∠ O P C

，又

∠ A O P = ∠ P O C

，得

∠ A O P = ∠ O P C

，所以

P C ∥ O A

（内错角相等，两直线平行）。→ 得到“角平分线 + 等腰 ⇒ 平行”这条反向通道

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1过 P 作一边的平行线
过 $P$ 作 $P C ∥ O A$ ，交 $O B$ 于 $C$ 。用尺规作平行线（同位角相等），标出 $C$ 。
→ 得到 $△ O P C$ ，并把平行条件转化为 $∠ O P C = ∠ A O P$
2等角代换证等腰
$∠ A O P = ∠ P O B$ （角平分线）， $∠ O P C = ∠ A O P$ （内错角），所以 $∠ O P C = ∠ P O C$ 。
→ $O C = P C$ ， $△ O P C$ 是等腰三角形；同时 $∠ O C P = 18 0^{\circ} - 2∠ P O C$
3反向使用结论
若已知 $O C = P C$ ，则 $∠ P O C = ∠ O P C$ ，又 $∠ A O P = ∠ P O C$ ，得 $∠ A O P = ∠ O P C$ ，所以 $P C ∥ O A$ （内错角相等，两直线平行）。
→ 得到“角平分线 + 等腰 ⇒ 平行”这条反向通道

SELECT MODEL

选择要练习的模型

WHY

角平分线与平行线模型

题目给的平行线本身不产生线段相等，它产生的是“角相等”；角平分线给的也是“角相等”。这两条角相等的线索在三角形 OPC 里相遇：一个来自角平分线（∠AOP=∠POC），一个来自平行线（∠AOP=∠OPC），代换后同一个三角形出现两个相等的角，于是等角对等边。辅助线（平行线）的真正作用是“搬运角”——把顶点处的角原样搬到 P 处。

NEW RELATIONS

$O C = P C$ ， $△ O P C$ 是等腰三角形
$∠ O P C = ∠ P O C = ∠ A O P$
$∠ O C P = 18 0^{\circ} - 2 α$ ，其中 $α = \frac{1}{2} ∠ A O B$
若改作 $P D ∥ O B$ 交 $O A$ 于 $D$ ，同理 $O D = P D$
当 $∠ A O B = 12 0^{\circ}$ 时， $△ O P C$ 是等边三角形
若同时作两边的平行线，则四边形 $O D P C$ 是菱形

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实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。