相似与比例九年级上

母子型与射影定理（斜边上的高）

又称：射影定理、双垂直模型、母子三角形

直角三角形斜边上的高，把大三角形分成两个小直角三角形，三者两两相似，于是得到三条平方关系，统称射影定理。这是相似与勾股定理之间最漂亮的一座桥。属于衔接拓展内容，八年级可先用面积法算斜边上的高，九年级再用相似给出三条式子。

难度挑战考试权重 8 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

直角三角形作斜边高，一大两小两两相似；直角边是射影与斜边的比例中项。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1作斜边上的高：过直角顶点

C

作

C D ⊥ A B

，垂足为

D

。这条高把大直角三角形分成两个小直角三角形。→ 出现三个直角三角形，且

C D

是两个小三角形的公共边

STEP 2标出“同角的余角”：

∠ A + ∠ A C D = 9 0^{\circ}

，

∠ B C D + ∠ A C D = 9 0^{\circ}

，所以

∠ A = ∠ B C D

；同理

∠ B = ∠ A C D

。→ 得到两组等角，可证

△ A C D \sim △ C B D

、

△ A C D \sim △ A B C

STEP 3写比例式再交叉相乘：由

△ A C D \sim △ C B D

得

\frac{A D}{C D} = \frac{C D}{B D}

，交叉相乘即

C D^{2} = A D \cdot B D

；另两式同理。→ 得到三条射影定理，不必死记“谁乘谁”

模型的基本定义

如图，在

△ A B C

中，

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

C D ⊥ A B

于

D

，则图中有三个直角三角形，且

△ A C D \sim △ A B C \sim △ C B D

（一个大三角形、两个小三角形，像“母子”）。由此得到射影定理：

C D^{2} = A D \cdot B D

，

A C^{2} = A D \cdot A B

，

B C^{2} = B D \cdot A B

。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ （大三角形是直角三角形）
2 $C D ⊥ A B$ ， $D$ 在 $A B$ 上（ $D$ 是垂足）
3图中出现三个直角三角形：大、小、小
4要求 $C D$ 、 $A C$ 、 $B C$ 的长，或要求证平方关系
5题目出现“斜边上的高”“双垂直”等字眼

常见触发关键词

直角三角形斜边上的高双垂直射影定理平方比例中项母子型

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
作斜边上的高
过直角顶点 $C$ 作 $C D ⊥ A B$ ，垂足为 $D$ 。这条高把大直角三角形分成两个小直角三角形。
得到出现三个直角三角形，且 $C D$ 是两个小三角形的公共边
STEP 2
标出“同角的余角”
$∠ A + ∠ A C D = 9 0^{\circ}$ ， $∠ B C D + ∠ A C D = 9 0^{\circ}$ ，所以 $∠ A = ∠ B C D$ ；同理 $∠ B = ∠ A C D$ 。
得到得到两组等角，可证 $△ A C D \sim △ C B D$ 、 $△ A C D \sim △ A B C$
STEP 3
写比例式再交叉相乘
由 $△ A C D \sim △ C B D$ 得 $\frac{A D}{C D} = \frac{C D}{B D}$ ，交叉相乘即 $C D^{2} = A D \cdot B D$ ；另两式同理。
得到得到三条射影定理，不必死记“谁乘谁”

为什么这样添加辅助线

一条高把一个大直角三角形切成两个小直角三角形，三者两两相似，而

C D

同时是“两个小三角形的公共边”，所以它成了

A D

与

B D

的比例中项。作高的目的，就是制造“公共边”与“同角的余角”，让相似关系成链。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A C D \sim △ A B C \sim △ C B D$
$C D^{2} = A D \cdot B D$
$A C^{2} = A D \cdot A B$
$B C^{2} = B D \cdot A B$
$A C \cdot B C = A B \cdot C D$ （面积法，等积式）
$\frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} = \frac{A D}{B D}$

能使用哪些定理和性质

相似三角形判定：两角分别相等的两个三角形相似直角三角形两锐角互余；同角的余角相等相似三角形对应边成比例三角形面积公式（两种算法：$\frac{1}{2}\times$底$\times$高）勾股定理（可与射影定理互推）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

C D ⊥ A B

于

D

，求证

C D^{2} = A D \cdot B D

、

A C^{2} = A D \cdot A B

、

B C^{2} = B D \cdot A B

。

1 $∠ A D C = ∠ C D B = ∠ A C B = 9 0^{\circ}$
依据 $C D ⊥ A B$ 与 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$
2 $∠ A = ∠ B C D$
依据同角的余角相等： $∠ A + ∠ A C D = 9 0^{\circ}$ ， $∠ B C D + ∠ A C D = 9 0^{\circ}$
3 $△ A C D \sim △ C B D$
依据两角分别相等（ $∠ A D C = ∠ C D B = 9 0^{\circ}$ ， $∠ A = ∠ B C D$ ； $A \leftrightarrow C$ 、 $C \leftrightarrow B$ 、 $D \leftrightarrow D$ ）
4 $\frac{A D}{C D} = \frac{C D}{B D}$ ，故 $C D^{2} = A D \cdot B D$
依据相似三角形对应边成比例，交叉相乘
5 $∠ A = ∠ A$ ， $∠ A D C = ∠ A C B = 9 0^{\circ}$ ，故 $△ A C D \sim △ A B C$
依据两角分别相等的两个三角形相似
6 $\frac{A D}{A C} = \frac{A C}{A B}$ ，故 $A C^{2} = A D \cdot A B$
依据对应边成比例，交叉相乘
7同理 $△ C B D \sim △ A B C$ ，得 $\frac{B D}{B C} = \frac{B C}{A B}$ ，故 $B C^{2} = B D \cdot A B$
依据 $∠ B = ∠ B$ ， $∠ C D B = ∠ A C B = 9 0^{\circ}$
8 $\frac{1}{2} A B \cdot C D = \frac{1}{2} A C \cdot B C$ ，故 $A C \cdot B C = A B \cdot C D$
依据同一个三角形面积的两种算法（面积法）

补充说明

三条式子不要死背“谁的平方等于谁乘谁”，记一句话：直角边是“它在斜边上的射影”与“整条斜边”的比例中项，斜边上的高是“两段射影”的比例中项。

典型例题

题目在 Rt

△ A B C

中，

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

C D ⊥ A B

于

D

，

A D = 2

，

B D = 8

。求

C D

、

A C

、

B C

与

A B

。已知：

∠ A C B = 9 0^{\circ}

，

C D ⊥ A B

，

D

在

A B

上。

解答

1 $A B = A D + B D = 2 + 8 = 10$
依据线段的和
2 $C D^{2} = A D \cdot B D = 2 \times 8 = 16$ ，得 $C D = 4$
依据射影定理（取正根）
3 $A C^{2} = A D \cdot A B = 2 \times 10 = 20$ ，得 $A C = 25$
依据射影定理
4 $B C^{2} = B D \cdot A B = 8 \times 10 = 80$ ，得 $B C = 45$
依据射影定理
5检验： $A C^{2} + B C^{2} = 20 + 80 = 100 = A B^{2}$
依据勾股定理逆定理，说明计算正确
6面积检验： $A C \cdot B C = 25 \times 45 = 40 = A B \cdot C D = 10 \times 4$
依据等积式 $A C \cdot B C = A B \cdot C D$

结论与点评

C D = 4

，

A C = 25

，

B C = 45

，

A B = 10

。三组答案可用勾股定理与面积式双重检验，这是射影定理题最好的自查方法。

常见变式

变式 1已知两直角边求高

先用勾股定理求斜边，再用

A C \cdot B C = A B \cdot C D

求斜边上的高，比用射影定理更快。

变式 2已知高与射影比

给

C D

与

A D : B D

，设

A D = 2 x

、

B D = 3 x

，由

C D^{2} = A D \cdot B D

解出

x

，再求各边。

变式 3用射影定理证勾股定理

A C^{2} + B C^{2} = A D \cdot A B + B D \cdot A B = A B (A D + B D) = A B^{2}

，这是勾股定理的一种相似证法。

变式 4一般三角形作高不是母子型

若

∠ A C B \neq = 9 0^{\circ}

，作高后两个小直角三角形不再相似，也没有

C D^{2} = A D \cdot B D

，不能套用。

易错点

!把 $C D^{2} = A D \cdot B D$ 记成 $C D^{2} = A D \cdot A B$ ，三条式子混用。
! $D$ 不是垂足、或 $D$ 不在 $A B$ 上时仍套射影定理。
!漏掉 $∠ A C B = 9 0^{\circ}$ 这个前提（或误以为任意三角形的高都有这三条式子）。
! $\frac{A C ^{2}}{B C ^{2}} = \frac{A D}{B D}$ 写成 $\frac{A C}{B C} = \frac{A D}{B D}$ ，漏掉平方。

关联模型

相似

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

作斜边上的高

标出“同角的余角”

写比例式再交叉相乘

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

相似三角形判定与性质（相似基础）

反 A 字模型（共角相似）

面积法与等积式（同高面积比）

斜边中线模型