相似与比例九年级上

反 A 字模型（共角相似）

又称：共角相似、斜截相似模型

两个三角形有一个公共角，再有一对“错位”的角相等，就相似，图形像倒过来的“A”。它和 A 字模型只差一个条件——

D E

与

B C

不平行，但比例式的对应关系完全相反，是最容易写错的一类相似。属于衔接拓展内容，八年级可先了解“共角 + 一对等角”的图形，九年级再练对应关系。

难度挑战考试权重 7 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

共角一对角相等，边要“交叉”去对应；

A E

配

A B

、

A D

配

A C

，不平行才是反 A。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1作出使等角成立的那条截线：过

A C

上的点

E

作射线，与

A B

交于

D

，使

∠ A E D = ∠ A B C

。若图中已画出

D E

，就补标这个等角。→ 得到一个与

△ A B C

共角、且有一对等角的

△ A E D

STEP 2把等角标到顶点上：

∠ A E D

的顶点是

E

，

∠ A B C

的顶点是

B

，所以

E \leftrightarrow B

；公共角的顶点

A \leftrightarrow A

，剩下的

D \leftrightarrow C

。→ 确定对应关系，避免把

A D

与

A B

配成一对

STEP 3按顶点顺序写比例：由

△ A E D \sim △ A B C

写

\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C} = \frac{E D}{B C}

，交叉相乘得

A D \cdot A B = A E \cdot A C

。→ 得到“交叉”的比例式与乘积式，可直接求线段

模型的基本定义

如图，在

△ A B C

中，点

D

在

A B

上，点

E

在

A C

上，若

∠ A E D = ∠ A B C

（注意等角的顶点分别是

E

和

B

），则

△ A E D \sim △ A B C

，对应关系为

A \leftrightarrow A

、

E \leftrightarrow B

、

D \leftrightarrow C

，于是

\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C} = \frac{E D}{B C}

。此时

D E

与

B C

不平行，所以叫“反 A 字”。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1 $∠ A$ 是两个三角形的公共角
2 $D$ 在 $A B$ 上、 $E$ 在 $A C$ 上（也可以在边的延长线上）
3一对错位的角相等： $∠ A E D = ∠ A B C$
4或者夹边成比例： $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ ，即 $A D \cdot A B = A E \cdot A C$
5 $D E$ 与 $B C$ 不平行（平行就变成 A 字模型）
6题目求线段长，或要求证明乘积式

常见触发关键词

共角一对角相等斜截不平行乘积式比例中项求线段长

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
作出使等角成立的那条截线
过 $A C$ 上的点 $E$ 作射线，与 $A B$ 交于 $D$ ，使 $∠ A E D = ∠ A B C$ 。若图中已画出 $D E$ ，就补标这个等角。
得到得到一个与 $△ A B C$ 共角、且有一对等角的 $△ A E D$
STEP 2
把等角标到顶点上
$∠ A E D$ 的顶点是 $E$ ， $∠ A B C$ 的顶点是 $B$ ，所以 $E \leftrightarrow B$ ；公共角的顶点 $A \leftrightarrow A$ ，剩下的 $D \leftrightarrow C$ 。
得到确定对应关系，避免把 $A D$ 与 $A B$ 配成一对
STEP 3
按顶点顺序写比例
由 $△ A E D \sim △ A B C$ 写 $\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C} = \frac{E D}{B C}$ ，交叉相乘得 $A D \cdot A B = A E \cdot A C$ 。
得到得到“交叉”的比例式与乘积式，可直接求线段

为什么这样添加辅助线

反 A 字最难的不是判定，而是对应关系。两个三角形共顶点

A

、共一个角，图形上“看起来”

A D

应该配

A B

，但等角

∠ A E D = ∠ A B C

决定了

A D

必须配

A C

。把角标到顶点上再按顺序写比例，就能避免这类错误；辅助线的作用就是把那个“使等角成立的截线”作出来，让条件看得见。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A E D \sim △ A B C$
$\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C} = \frac{E D}{B C}$
$∠ A D E = ∠ A C B$
$A D \cdot A B = A E \cdot A C$ （乘积式）
$\frac{S _{△ A E D}}{S _{△ A B C}} = (\frac{A E}{A B})^{2}$
当 $A B = A C$ 时， $A D = A E$ （等腰背景下反 A 字左右对称）

能使用哪些定理和性质

相似三角形判定：两角分别相等的两个三角形相似相似三角形判定：两边成比例且夹角相等比例的基本性质：内项积等于外项积相似三角形性质：对应角相等、对应边成比例、面积比等于相似比平方三角形内角和定理

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标在

△ A B C

中，

D

在

A B

上，

E

在

A C

上，

∠ A E D = ∠ A B C

，求证

△ A E D \sim △ A B C

，且

\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C} = \frac{E D}{B C}

。

1 $∠ A = ∠ A$
依据公共角
2 $∠ A E D = ∠ A B C$
依据已知
3 $△ A E D \sim △ A B C$
依据两角分别相等的两个三角形相似（ $A \leftrightarrow A$ 、 $E \leftrightarrow B$ 、 $D \leftrightarrow C$ ）
4 $∠ A D E = ∠ A C B$
依据相似三角形对应角相等
5 $\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C} = \frac{E D}{B C}$
依据相似三角形对应边成比例
6 $A D \cdot A B = A E \cdot A C$
依据比例的基本性质： $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ 交叉相乘
7反过来：若 $∠ A$ 公共且 $\frac{A D}{A C} = \frac{A E}{A B}$ ，则 $△ A D E \sim △ A C B$
依据两边成比例且夹角相等（夹角都是 $∠ A$ ）

补充说明

反 A 字的“反”就反在对应关系上：A 字里

A D

配

A B

，反 A 字里

A D

配

A C

。判断口诀是“等角的顶点互换”，

∠ A E D = ∠ A B C

把

E

和

B

绑在一起。

典型例题

题目在

△ A B C

中，

D

在

A B

上，

E

在

A C

上，

∠ A E D = ∠ A B C

，

A E = 3

，

A B = 6

，

A C = 4

，

B C = 5

。求

A D

与

E D

。已知：

∠ A

公共，

∠ A E D = ∠ A B C

。

解答

1 $△ A E D \sim △ A B C$
依据公共角 $∠ A$ 与已知等角，AA 判定
2 $\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C}$ ，即 $\frac{3}{6} = \frac{A D}{4}$ ，得 $A D = 2$
依据对应边成比例（ $A E$ 对应 $A B$ ， $A D$ 对应 $A C$ ）
3 $\frac{E D}{B C} = \frac{A E}{A B} = \frac{1}{2}$ ，得 $E D = 2.5$
依据对应边成比例
4检验： $A D = 2 < A B = 6$ ， $A E = 3 < A C = 4$ ，相似比 $\frac{1}{2}$ ，位置合理
依据回代验证点的位置与相似比

结论与点评

A D = 2

，

E D = 2.5

。若误按 A 字写

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}

，会得到

A D = 4.5

——数值看着也“合理”，但对应关系是错的，这正是反 A 字最容易失分的地方。

常见变式

变式 1等腰反 A 字

若

A B = A C

，由

A D \cdot A B = A E \cdot A C

得

A D = A E

，图形关于

∠ A

的平分线对称。

变式 2乘积式与比例中项

由

A D \cdot A B = A E \cdot A C

求线段，或把它改写成

\frac{A D}{A E} = \frac{A C}{A B}

求比例中项。

变式 3反 A 与 A 字对照

只差“

D E ∥ B C

”一个条件：平行时用

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}

，不平行而

∠ A E D = ∠ A B C

时用

\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C}

。

变式 4反 A 字求面积

先定相似比（注意是

\frac{A E}{A B}

），再用面积比等于相似比平方求面积。

易错点

!把对应关系写成 A 字： $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ ，正确应是 $\frac{A E}{A B} = \frac{A D}{A C}$ 。
!顶点顺序写错：应写 $△ A E D \sim △ A B C$ ，写成 $△ A D E \sim △ A B C$ 就错了。
!误以为 $D E ∥ B C$ ，套用“平行线分线段成比例”，得到错误的比例。
!用“两边成比例 + 其中一边的对角相等”直接判相似（SSA 不成立），必须确认夹角是 $∠ A$ 。

关联模型

相似

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

作出使等角成立的那条截线

把等角标到顶点上

按顶点顺序写比例

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

相似三角形判定与性质（相似基础）

A 字模型（平行截相似）

母子型与射影定理（斜边上的高）

8 字模型（对顶相似）