相似与比例八年级下

A 字模型（平行截相似）

又称：A 型相似、平行截两边模型

在三角形中，一条平行于底边的线段截两边，截出的小三角形与大三角形相似，图形像汉字“A”。它是“平行线分线段成比例”与“相似三角形”之间最直接的桥梁，属于八、九年级衔接的拓展内容：八年级可以先把它当作“平行线分线段成比例”的图形来用，九年级再用相似三角形正式证明。

难度进阶考试权重 8 步证明 · 3 步辅助线

识别口诀 · MNEMONIC

一横平行截两边，小三角形套大三角形；上比全、上比下，两套比例别打架。

在实验室画辅助线从条件反查返回模型库

标准几何图形

点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。

标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步

STEP 1作平行线截出小三角形：过

A B

上的点

D

作

D E ∥ B C

，交

A C

于

E

（若图中已给出

D E

，就补标平行符号）。→ 得到两组同位角

∠ A D E = ∠ A B C

、

∠ A E D = ∠ A C B

STEP 2标出公共角：

∠ D A E

与

∠ B A C

本来就是同一个角，写条件时写

∠ A = ∠ A

。→ 两组等角凑齐，可用 AA 判定

△ A D E \sim △ A B C

STEP 3分清两套比例式：由相似得

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

（上比全，等于相似比）；由平行线分线段成比例得

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

（上比下）。→ 求整条边用第一套，求分点用第二套，不会混用

模型的基本定义

如图，在

△ A B C

中，点

D

在

A B

上，点

E

在

A C

上，且

D E ∥ B C

，则

△ A D E \sim △ A B C

（

A \leftrightarrow A

、

D \leftrightarrow B

、

E \leftrightarrow C

），于是

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

。由平行线分线段成比例还得到

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

。前者是“上比全”，后者是“上比下”，两套式子来源相同但用法不同。

题目出现什么条件时应该想到它

这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。

1 $D E ∥ B C$
2 $D$ 在 $A B$ 上、 $E$ 在 $A C$ 上（截的是两边，不是延长线）
3 $∠ A$ 是两个三角形的公共角
4同位角 $∠ A D E = ∠ A B C$ 、 $∠ A E D = ∠ A C B$
5题目要求线段比、线段长或面积比
6或者反过来：已知两边上的比，要证 $D E ∥ B C$ （逆用）

常见触发关键词

平行A 字截两边公共角同位角线段比面积比

辅助线具体画法

重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。

STEP 1
作平行线截出小三角形
过 $A B$ 上的点 $D$ 作 $D E ∥ B C$ ，交 $A C$ 于 $E$ （若图中已给出 $D E$ ，就补标平行符号）。
得到得到两组同位角 $∠ A D E = ∠ A B C$ 、 $∠ A E D = ∠ A C B$
STEP 2
标出公共角
$∠ D A E$ 与 $∠ B A C$ 本来就是同一个角，写条件时写 $∠ A = ∠ A$ 。
得到两组等角凑齐，可用 AA 判定 $△ A D E \sim △ A B C$
STEP 3
分清两套比例式
由相似得 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$ （上比全，等于相似比）；由平行线分线段成比例得 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ （上比下）。
得到求整条边用第一套，求分点用第二套，不会混用

为什么这样添加辅助线

A 字模型的信息一半在“平行”，一半在“公共角”。平行给出同位角相等，公共角是现成的，两者合起来正好是 AA，所以辅助线的任务就是把平行线作出来（或把已有的平行关系标清楚）。反过来，若题目只给了比例式而没给平行，就先由 SAS 相似推出

∠ A D E = ∠ A B C

，再由同位角相等得到

D E ∥ B C

——这正是“证平行”的常用套路。

添加辅助线后产生的新关系

$△ A D E \sim △ A B C$
$\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$
$\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ （平行线分线段成比例）
$\frac{S _{△ A D E}}{S _{△ A B C}} = (\frac{A D}{A B})^{2}$
$\frac{S _{△ A D E}}{S _{梯形 D B C E}} = \frac{A D ^{2}}{A B ^{2} - A D ^{2}}$
$\frac{A D}{A B} = \frac{1}{2}$ 时 $D E$ 是中位线， $D E = \frac{1}{2} B C$

能使用哪些定理和性质

相似三角形判定：两角分别相等的两个三角形相似平行线的性质：两直线平行，同位角相等平行线分线段成比例定理相似三角形性质：对应边成比例，面积比等于相似比的平方三角形中位线定理（$AD=DB$ 时的特例）

完整证明过程

每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。

证明目标已知

D E ∥ B C

，

D

在

A B

上，

E

在

A C

上，求证

△ A D E \sim △ A B C

，且

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}

。

1 $∠ A = ∠ A$
依据公共角
2 $∠ A D E = ∠ A B C$
依据两直线平行（ $D E ∥ B C$ ），同位角相等
3 $△ A D E \sim △ A B C$
依据两角分别相等的两个三角形相似（ $A \leftrightarrow A$ 、 $D \leftrightarrow B$ 、 $E \leftrightarrow C$ ）
4 $∠ A E D = ∠ A C B$
依据相似三角形对应角相等（也可由 $D E ∥ B C$ 的同位角直接得到）
5 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C} = \frac{D E}{B C}$
依据相似三角形对应边成比例
6 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$
依据平行线分线段成比例定理的推论： $D E ∥ B C$ 截 $A B$ 、 $A C$ ，得 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$
7 $\frac{S _{△ A D E}}{S _{△ A B C}} = (\frac{A D}{A B})^{2}$
依据相似三角形面积比等于相似比的平方
8若已知 $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$ ，则由两边成比例且夹角相等得 $△ A D E \sim △ A B C$ ，从而 $∠ A D E = ∠ A B C$ ；又这两个角是同位角，故 $D E ∥ B C$
依据SAS 相似；相似三角形对应角相等；同位角相等，两直线平行

补充说明

八年级可以先用“平行线分线段成比例”接受

\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}

，等九年级学了相似再补上“为什么”。注意当

E

落在

C A

的延长线上时，图形变成“A 字的变式”，比例式的方向要重新判断。

典型例题

题目如图，在

△ A B C

中，

D E ∥ B C

，

A D = 2

，

D B = 3

，

D E = 4

。求

B C

；若

S_{△ A D E} = 4

，求

S_{△ A B C}

与梯形

D B C E

的面积。已知：

D

在

A B

上，

E

在

A C

上，

D E ∥ B C

。

解答

1 $A B = A D + D B = 2 + 3 = 5$
依据线段的和
2 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ，即 $\frac{2}{5} = \frac{4}{B C}$ ，得 $B C = 10$
依据A 字模型：相似三角形对应边成比例
3 $\frac{S _{△ A D E}}{S _{△ A B C}} = (\frac{2}{5})^{2} = \frac{4}{25}$ ，得 $S_{△ A B C} = 25$
依据相似三角形面积比等于相似比的平方
4 $S_{梯形 D B C E} = 25 - 4 = 21$
依据整体减去部分
5检验： $\frac{D E}{B C} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} = \frac{A D}{A B}$
依据回代验证相似比一致

结论与点评

B C = 10

，

S_{△ A B C} = 25

，梯形

D B C E

的面积为

21

。梯形与三角形的面积比是

21 : 4

，也可以直接用

\frac{A B ^{2} - A D ^{2}}{A D ^{2}} = \frac{25 - 4}{4}

验证。

常见变式

变式 1中位线型

A D = D B

时

D E

是中位线，

D E = \frac{1}{2} B C

，面积比

1 : 4

，此时 A 字模型退化为中位线定理。

变式 2双 A 字

D E ∥ F G ∥ B C

时，

△ A D E

、

△ A F G

、

△ A B C

两两相似，比值为三条平行线到

A

的距离之比。

变式 3逆 A 字（证平行）

已知

\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}

，先由 SAS 判相似，得

∠ A D E = ∠ A B C

，从而

D E ∥ B C

。

变式 4A 字求面积

已知

S_{△ A D E}

与相似比求

S_{△ A B C}

，或反过来求梯形面积，注意面积比是相似比的平方。

易错点

!比例写错：应是 $\frac{A D}{A B} = \frac{D E}{B C}$ ，不能写成 $\frac{A D}{D B} = \frac{D E}{B C}$ 。
!忘记 $A B = A D + D B$ ，把 $A D$ 直接当成 $A B$ 。
!面积比误用相似比：相似比 $\frac{2}{5}$ 时面积比是 $\frac{4}{25}$ ，不是 $\frac{2}{5}$ 。
! $E$ 在 $C A$ 延长线上时仍照搬“截两边”的结论，没有重新判断对应关系。

关联模型

相似

标准几何图形

模型的基本定义

题目出现什么条件时应该想到它

常见触发关键词

辅助线具体画法

作平行线截出小三角形

标出公共角

分清两套比例式

为什么这样添加辅助线

添加辅助线后产生的新关系

能使用哪些定理和性质

完整证明过程

典型例题

常见变式

易错点

关联模型

相似三角形判定与性质（相似基础）

平行线分线段成比例（比例基本定理）

8 字模型（对顶相似）

反 A 字模型（共角相似）