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标准几何图形
点击下方按钮逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段与结论。
标准几何图形 · 辅助线演示已显示 3 步
STEP 1补出第三个等角：在直线 上取点 ，作 （若图中已给出，就补标这三个 ）。→ 使直线上的三个角都等于 ，形成“两头各一个、中间一个”的结构
STEP 2用平角与内角和倒角：，故 ；又在 中 。→ 得到 ，把 从左边三角形“搬”到右边三角形
STEP 3写比例式并整理乘积式：由 得 ，交叉相乘得 。→ 得到三组对应边的比例与一个乘积式，可求任意一边
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模型的基本定义
如图，点 、、 在同一直线上，且 ，则 ，对应关系为 、、，于是 。特别地，当 时就是“一线三垂直”；当 时相似比为 ，两个三角形全等。
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题目出现什么条件时应该想到它
这些是“入口信号”，不要求全部出现，但出现得越多，越应该优先检查本模型。
- 1点 、、 三点共线
- 2三个相等的角依次以这条直线上的点为顶点：
- 3中间的角 的顶点 落在直线上，是“桥”
- 4、 在直线 的同侧
- 5特例：三个角都是 （一线三垂直）
- 6题目求线段长、证比例式，或问“何时全等”
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常见触发关键词
三点共线三个等角一线三等角一线三垂直垂直比例式全等
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辅助线具体画法
重点内容：每一步都写清怎么画、为什么画、画完得到什么。
- STEP 1在直线 上取点 ，作 （若图中已给出，就补标这三个 ）。
补出第三个等角
得到使直线上的三个角都等于 ，形成“两头各一个、中间一个”的结构 - STEP 2，故 ；又在 中 。
用平角与内角和倒角
得到得到 ，把 从左边三角形“搬”到右边三角形 - STEP 3由 得 ，交叉相乘得 。
写比例式并整理乘积式
得到得到三组对应边的比例与一个乘积式，可求任意一边
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为什么这样添加辅助线
三个等角分散在一条直线上，直接看没有关系。辅助线的目的是“把第三个角造出来”，再用平角把 、、 三块拼成 ，从而把 从 搬到 。所谓“一线三等角”，本质就是“用平角倒角”。
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添加辅助线后产生的新关系
- （交叉相乘）
- 当 时 ，此时 、
- 时 ，且 中
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能使用哪些定理和性质
相似三角形判定：两角分别相等的两个三角形相似三角形内角和定理平角的定义全等三角形判定：AAS（相似比为 $1$ 时）勾股定理（$\alpha=90^{\circ}$ 时可用）
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完整证明过程
每一步都写明结论与依据，可直接对照考试书写格式。
证明目标已知 、、 共线，，求证 ，并说明 时两个三角形全等。
- 1依据、、 三点共线，平角为
- 2依据代入
- 3依据三角形内角和
- 4依据等量代换
- 5依据已知
- 6依据两角分别相等（、、）
- 7依据相似三角形对应边成比例
- 8若 ，则相似比为 ，依据相似比为 的两个三角形全等，对应边 、
补充说明
三个角的位置不能乱：必须是“两端各一个、中间一个”，且中间角的顶点在直线上。若只是 而中间角不是 ，就不能用这个模型。12
典型例题
题目如图，、、 共线，，，，。求 与 。已知：一线三垂直：，，。
解答
- 1依据同角的余角相等（也可用平角倒角：）
- 2依据两角分别相等（，）
- 3，即 ，得依据对应边成比例
- 4依据勾股定理
- 5，得依据对应边成比例
- 6检验：，而依据勾股定理回代验证
结论与点评，。本题三个角都是 ，故为“一线三垂直”；若再给 ，则 ，此时 、。
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常见变式
变式 1一线三垂直全等
且 时，，是“一线三垂直”的全等版本，可用于构造正方形、等腰直角三角形。变式 2等边三角形背景（$\alpha=60^{\circ}$）
三个角都是 时同样相似，区别只是倒角时用 而不是 。变式 3三等角求乘积
由 得 ，已知三条线段可求第四条。变式 4与“一线三等角全等”对照
本模型只保证相似；要得到全等，必须再补一组对应边相等，最常用的是 。14
易错点
- !三个角的位置标错： 必须是中间那个，顶点 在直线 上。
- !顶点顺序写错：应是 ，不是 。
- !把“三个角相等”直接当成全等——还差一组对应边相等。
- !忘记 、、 共线，导致平角倒角（）不成立。
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