Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

相似与比例 / 辅助线实验室

辅助线进度 3 / 3

② 第 3 步：写面积比、约去高3 / 3

S_{△ A B E} = \frac{1}{2} A B \cdot d_{1}

，

S_{△ B C E} = \frac{1}{2} B C \cdot d_{2}

，两式相除后约去

d_{1}

、

d_{2}

，得

\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}

。→ 得到定理结论，也看清“为什么与平行线间距无关”

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1连出四个三角形
连接 $A E$ 、 $B D$ 、 $C E$ 、 $B F$ ，把线段 $A B$ 、 $B C$ 与 $D E$ 、 $E F$ 分别放进三角形里。
→ 线段的比被转化成三角形面积的比
2用“同底等高”搬面积
$l_{1} ∥ l_{2}$ 得 $S_{△ A B E} = S_{△ D B E}$ （同底 $B E$ 、等高）； $l_{2} ∥ l_{3}$ 得 $S_{△ B C E} = S_{△ B E F}$ （同底 $B E$ 、等高）。
→ 把“上面一组”与“下面一组”的面积对应起来
3写面积比、约去高
$S_{△ A B E} = \frac{1}{2} A B \cdot d_{1}$ ， $S_{△ B C E} = \frac{1}{2} B C \cdot d_{2}$ ，两式相除后约去 $d_{1}$ 、 $d_{2}$ ，得 $\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$ 。
→ 得到定理结论，也看清“为什么与平行线间距无关”

SELECT MODEL

WHY

线段比本身没有现成工具可用。连出三角形之后，平行线保证“同底等高”，面积比就退化成底边比，这是面积法最典型的一次应用：把“比例”问题翻译成“面积相等 + 面积公式”，两条平行关系各管一组等积，一约就出结果。

NEW RELATIONS

$\frac{A B}{B C} = \frac{D E}{E F}$
$\frac{A B}{A C} = \frac{D E}{D F}$
$\frac{B C}{A C} = \frac{E F}{D F}$
三角形内的推论： $D E ∥ B C$ 时 $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ ， $\frac{A D}{A B} = \frac{A E}{A C}$
三角形内的逆用： $\frac{A D}{D B} = \frac{A E}{E C}$ 时 $D E ∥ B C$
三条平行线等距时，截得的对应线段相等（可用来证中点）

实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。