Auxiliary Line Lab

辅助线实验室

画辅助线不是碰运气。选择一个模型，从原图开始，逐步显示辅助线，观察每一步新增的线段、角与结论。先自己口述画法，再点开验证，效果最好。

46 个模型可练习逐步显示 · 自动演示练习模式：先画后看

全等与旋转 / 辅助线实验室

辅助线进度 2 / 2

② 第 2 步：读出 $\triangle APP'$ 与 $\triangle PCP'$2 / 2

A P = A P^{'}

且

∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}

，所以

△ A P P^{'}

是等边三角形，

P P^{'} = A P

；于是

△ P C P^{'}

的三边正好是

P A

、

P B

、

P C

。→ 把“三条线段”的问题转化为“一个三角形”的问题

辅助线步骤 · 练习模式

先自己画，再看答案

1把 $\triangle ABP$ 绕 $A$ 旋转 $60^\circ$
以 $A$ 为旋转中心，沿 $A B \to A C$ 的方向旋转 $6 0^{\circ}$ ： $B$ 落到 $C$ ， $P$ 落到 $P^{'}$ ；连接 $A P^{'}$ 、 $P P^{'}$ 、 $P^{'} C$ 。
→ $△ A B P ≅ △ A C P^{'}$ ， $A P^{'} = A P$ ， $B P = C P^{'}$ ， $∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}$
2读出 $\triangle APP'$ 与 $\triangle PCP'$
$A P = A P^{'}$ 且 $∠ P A P^{'} = 6 0^{\circ}$ ，所以 $△ A P P^{'}$ 是等边三角形， $P P^{'} = A P$ ；于是 $△ P C P^{'}$ 的三边正好是 $P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 。
→ 把“三条线段”的问题转化为“一个三角形”的问题

SELECT MODEL

WHY

P A

、

P B

、

P C

都从

P

出发，彼此没有直接关系，无法比较。旋转

6 0^{\circ}

的作用是“搬运”：

P B

被搬到

P^{'} C

，

P A

被搬到

P P^{'}

，三条线段于是首尾相接，围成

△ P C P^{'}

。为什么非选

6 0^{\circ}

？因为等边三角形中

A B

与

A C

的夹角就是

6 0^{\circ}

，只有转

6 0^{\circ}

才能让

B

精确落到

C

上；转其他角度，

B

的像不在

C

，就凑不出封闭三角形。

NEW RELATIONS

$△ A B P ≅ △ A C P^{'}$ （SAS）
$△ A P P^{'}$ 是等边三角形： $A P = P P^{'} = A P^{'}$ ， $∠ A P^{'} P = ∠ A P P^{'} = 6 0^{\circ}$
$B P = C P^{'}$ ， $∠ A P B = ∠ A P^{'} C$
$P A$ 、 $P B$ 、 $P C$ 是 $△ P C P^{'}$ 的三边，故 $∣ P B - P C ∣ < P A < P B + P C$
$∠ A P B = 6 0^{\circ} + ∠ P P^{'} C$ （ $P$ 在形内时），所以 $∠ A P B > 6 0^{\circ}$
若 $P A : P B : P C = 3 : 4 : 5$ ，则 $∠ P P^{'} C = 9 0^{\circ}$ ， $∠ A P B = 15 0^{\circ}$

实验室怎么用？

① 只看原图，判断条件；② 自己口述辅助线怎么画；③ 点步骤验证；④ 对照“得到”一栏，把新关系写进证明。 4 到 5 步以上的模型建议分两次练习。